教材内容
在本节中，我们将学习如何求直线与圆的交点坐标。通过将直线方程代入圆的方程，我们可以得到一个二次方程，通过判别式可以判断交点的个数。这种方法将代数运算与几何直观相结合，是解析几何中的重要内容。
直线与圆的交点：同时满足直线方程和圆方程的点的坐标。
求直线与圆交点的步骤：
1. 将直线方程表示为y = mx + c或x = k的形式
2. 将直线方程代入圆的方程
3. 得到关于x（或y）的二次方程
4. 使用判别式分析交点个数
5. 求解二次方程得到交点坐标
对于直线 \(y = mx + c\) 和圆 \((x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2\)
代入得到：\((x - a)^2 + (mx + c - b)^2 = r^2\)
展开后得到关于x的二次方程：\(Ax^2 + Bx + C = 0\)
判别式 \(\Delta = B^2 - 4AC\) 决定交点个数：\(\Delta > 0\)（2个交点），\(\Delta = 0\)（1个交点），\(\Delta < 0\)（无交点）
题目：求直线 \(y = x + 3\) 与圆 \(x^2 + y^2 = 29\) 的交点坐标。
解答：
将直线方程代入圆的方程：
\(x^2 + (x + 3)^2 = 29\)
\(x^2 + x^2 + 6x + 9 = 29\)
\(2x^2 + 6x - 20 = 0\)
\(x^2 + 3x - 10 = 0\)
\((x + 5)(x - 2) = 0\)
所以 \(x = -5\) 或 \(x = 2\)
当 \(x = -5\) 时，\(y = -5 + 3 = -2\)
当 \(x = 2\) 时，\(y = 2 + 3 = 5\)
答案：交点坐标为 \((-5, -2)\) 和 \((2, 5)\)
题目：证明直线 \(y = 2x - 5\) 与圆 \(x^2 + y^2 = 4\) 不相交。
解答：
将直线方程代入圆的方程：
\(x^2 + (2x - 5)^2 = 4\)
\(x^2 + 4x^2 - 20x + 25 = 4\)
\(5x^2 - 20x + 21 = 0\)
计算判别式：
\(\Delta = (-20)^2 - 4(5)(21) = 400 - 420 = -20\)
因为 \(\Delta = -20 < 0\)，所以方程无实数解。
结论：直线与圆不相交。
在求解直线与圆交点时，要注意：1）正确代入方程；2）仔细展开和整理；3）准确计算判别式；4）验证解的正确性。
通过本节的学习，你应该能够：